1  חוקי חזקות

10^💪

1.1 כפל חזקות

אין זה מפתיע ש־

100 \cdot 1000 = 100000.

בכתיב חזקות, אפשר לכתוב את אותו הדבר כך:

10^2 \cdot 10^3 = 10^{2+3} = 10^5.

עכשיו אנחנו מתחילים להתקדם. אם נכליל את הדפוס שלמעלה, נוכל לנסח את החוק הבסיסי שאנחנו צריכים:

10^a \cdot 10^b = 10^{a+b}.

1.2 מעריך אפס

מחוק הכפל שלמעלה אפשר לגזור עוד כל מיני קשרים שימושיים. נתחיל בהצבת b=0 בחוק הכפל:

10^a \cdot 10^0 = 10^{a+0} = 10^{a}.

הדרך היחידה לשמור על חוק הכפל גם כאשר אחד המעריכים הוא אפס היא להסיק ש־

10^0 = 1

1.3 מעריך שלילי

מה קורה אם אחד המעריכים שלילי? למשל, נציב b=-a בחוק הכפל:

10^a \cdot 10^{-a} = 10^{a-a} = 10^0 = 1.

אם נחלק את שני אגפי המשוואה שלמעלה ב־10^a, נקבל

10^{-a} = \frac{1}{10^a}.

מצאנו שחזקות בעלות מעריך שלילי קשורות למספרים הופכיים. (1/x נקרא המספר ההופכי של x.)

1.4 חילוק חזקות

עכשיו, כשאנחנו יודעים איך לעבוד עם מעריכים שליליים, נוכל לחלק חזקה אחת באחרת:

10^a \div 10^b = 10^a \cdot \frac{1}{10^b} = 10^a \cdot 10^{-b} = 10^{a-b},

או בקיצור,

10^a \div 10^b = 10^{a-b}.

1.5 חזקה של חזקה

מה קורה כשמעלים חזקה בחזקה נוספת?

(10^a)^b =\underbrace{10^a\cdot10^a\cdots10^a}_{\text{ גורמים } b} =10^{\overbrace{a+a+\cdots+a}^{\text{ איברים } b}} =10^{ab}.

אז בקיצור:

(10^a)^b = 10^{ab}.

1.6 מעריך שברי

מה אמורה להיות המשמעות של מעריך שברי? נתחיל ב־10^{1/2}. לפי חוק החזקה של חזקה:

(10^{1/2})^2=10^{\frac{1}{2}\cdot 2} = 10.

אנחנו לא באמת מחפשים את הריבוע של 10^{1/2}, אז איך מבטלים את פעולת ההעלאה בריבוע? מוציאים שורש ריבועי, \sqrt[2]{\,\,}. כך למדנו ש־10^{1/2}=\sqrt[2]{10}.

אותו שיקול עובד עבור כל שבר a/b (בתנאי ש־b חיובי):

(10^{a/b})^b = 10^{\frac{a}{b}\cdot b} = 10^a.

כדי לבטל את ההעלאה בחזקת b, נוציא שורש מסדר b (\sqrt[b]{\,\,}) משני אגפי המשוואה שלמעלה:

10^{a/b} = \sqrt[b]{10^a}.

1.7 הבסיס 10

השתמשנו בבסיס 10 בכל החוקים שלמעלה, אבל אין בו שום דבר קדוש — יכולנו לבחור גם מספר אחר. שליטה בעבודה עם חזקות של 10 תהיה שימושית מאוד בפרקים האחרים באתר הזה, ולכן בחרנו בו כאן.

1.8 חזקה של מכפלה או מנה

עד עכשיו שמרנו על בסיס קבוע, 10, ובדקנו איך המעריכים משתלבים. עכשיו נסתכל בתוך הבסיס: מה קורה כשמעלים מכפלה או מנה בחזקה? אותו רעיון, כפל חוזר, נותן לנו עוד שני חוקים.

ניקח למשל

(ab)^3 =(ab)(ab)(ab) =(aaa)(bbb) =a^3b^3.

כל גורם תורם a אחד ו־b אחד. אם במקום 3 גורמים היו לנו c גורמים, היינו מקבלים c עותקים מכל אחד:

(ab)^c = a^c b^c.

החוק לחזקה של מנה נובע מיד מכתיבת החילוק ככפל במספר ההופכי:

\left(\frac ab\right)^c =(ab^{-1})^c =a^c(b^{-1})^c =a^cb^{-c} =\frac{a^c}{b^c},

… אז בקיצור,

\left(\frac ab\right)^c = \frac{a^c}{b^c}.

1.9 כפל חוזר

התחלנו את הפרק בכפל חוזר: עבור מספר שלם וחיובי n, הביטוי 10^n פירושו מכפלה של n גורמים שערכו של כל אחד מהם הוא 10. מכאן קיבלנו את חוק הכפל:

10^a \cdot 10^b = 10^{a+b}.

אבל מה אמורה להיות המשמעות של 10^{-2} או של 10^{3/2}? אי אפשר לכתוב ממש מכפלה שמכילה -2 או 3/2 גורמים. במקום זאת, אנחנו משתמשים בחוק הכפל כמדריך. אנחנו מגדירים חזקות בעלות מעריך אפס, מעריך שלילי ומעריך שברי כך שהחוק ימשיך להתקיים. כפי שראינו, כך אנחנו מגיעים ל־10^0=1, לחזקות בעלות מעריך שלילי כמספרים הופכיים, ולחזקות בעלות מעריך שברי כשורשים. הכפל החוזר נותן לנו נקודת התחלה, והשמירה על החוק מאפשרת לנו להתקדם הלאה.

1.10 לסיכום

\begin{align} 10^a \cdot 10^b &= 10^{a+b} \\ 10^0 &= 1 \\ 10^{-a} &= \frac{1}{10^a} \\ 10^a \div 10^b &= 10^{a-b} \\ (10^a)^b &= 10^{ab} \\ 10^{a/b} &= \sqrt[b]{10^a} \\ (ab)^c &= a^c b^c \\ \left(\frac ab\right)^c &= \frac{a^c}{b^c} \end{align}